Pembuktian di dalam Matematika

Setelah sekian lama tidak mendapat inspirasi mau menulis tentang apa, hari ini saya mendapatkan beberapa ide dari diskusi dengan beberapa kawan saya yang mungkin harus saya bagikan kepada kawan-kawan semua tentang membuktikan di dalam matematika. Ternyata dalam membuktikan suatu rumus ataupun suatu pernyataan dalam literatur, masih banyak bagi seperti saya kaum amateur dalam mengajar ataupun menulis dan membaca suatu buku maupun karya ilmiah tidak mengerti secara penuh dalam pembuktian matematika. Dari yang saya dapatkan pada diskusi tadi, kebanyakan orang hanya mau dan tahu dalam membuktikan suatu pernyataan dalam induksi matematika. Sedangkan seharusnya bagi kita yang sudah pernah belajar logika matematika, lebih memahami bagaimana cara membuktikan selain induksi matematika. 

Disini saya akan membagikan apa yang saya sudah pelajari yaitu beberapa teknik dalam pembuktian matematika selain induksi matematika. Dalam pemahaman logika matematika kita belajar tentang implikasi dimana sering disimbolkan dengan lambang panah ke kanan ataupun kata "jika". Dimana dalam implikasi biasanya digunakan dua pernyataan A dan B. Pernyataan A  adalah suatu hipotesis yang akan dibuktikan dengan langkah-langkah pasti sehingga diperoleh suatu pernyataan hasil B. Dengan nilai kebenaran setiap pernyataan tersebut. Dari teori implikasi tersebut, pembuktian dalam matematika dapat diperoleh dengan :

1. Pembuktian Langsung
   Pembuktian yang mengasumsikan A benar maka B juga harus benar
2. Kontrapositif
   Pembuktian menggunakan kebalikan dari B maka kebalikan A bernilai benar
3. Kontradiksi
   Pembuktian ini cukup menggunakan jika A bernilai benar maka B itu salah.

Dari logika matematika juga kita mengetahui juga tentang biimplikasi yang disimbolkan dengan panah dua arah atau kata "jika dan hanya jika". Teknik ini jujur lebih sering saya gunakan karena menurut saya lebih lengkap dalam menunjukkan suatu pernyataan itu benar adanya. Sama seperti implikasi yang menggunakan dua pernyataan A dan B, untuk teknik ini cukup membuktikan jika A maka B bernilai benar dan jika B maka bernilai benar juga. Banyak yang beranggapan teknik ini lebih rumit padahal tidak. Karena kita diperbolehkan dari A ke B maupun sebaliknya, bisa kita gunakan tempat coret-coret kita untuk membuat langkah dari A ke B dan jika buntu ditengah kita bisa mencoba dari B ke A. Dan saya lebih sering menggunakan ini, sehingga ditengah jalan saya mendapatkan proses yang tidak terpikirkan oleh saya jika hanya dari satu sisi.

Sekian kiranya penjelasan saya tentang pembuktian matematika. Mohon maaf jika ada kurangnya. Untuk lebih lengkapnya dalam keempat teknik tersebut termasuk induksi matematika, akan saya posting secepatnya (jika tidak sibuk dan lupa).  Semoga tulisan ini dapat menambah pengertian untuk  kawan-kawan semua. Salam untuk kita semua. OEL.

Nilai Maksimum/Minimum Suatu Fungsi

Urutan Bilangan

Secara sadar atau tidak, kita langsung bisa dan tahu bagaimana cara mengurutkan suatu bilangan yang satu dengan yang lain. Di dalam matematika dikenal dengan urutan dalam bilangan. Dapat dilihat dengan jelas pada himpunan bilangan real tak nol dipisahkan dengan baik yaitu bilangan real positif dan bilangan real negatif. Dari sana dapat diperkenalkan relasi dalam bentuk <, >, dan =.

Terdapat sifat-sifat urutan bilangan yakni :

1. Trikotomi
2. Transitif
3. Penjumlahan 
4. Perkalian

Catatan Kecil :

Trikotomi

Berlaku tiga relasi yang sering digunakan untuk mendefinisikan suatu kelompok bilangan yang diberikan operasi (misalnya hasilnya x) dengan kelompok yang lain yang diberikan operasi yang mungkin sama atau tidak (misalnya hasilnya y). Maka berlaku

x  <  y    ;   x = y    ;    x  >  y

dibaca : lebih kecil (<), lebih besar (>), dan sama dengan (=).